Электродинамический расчёт рельсотрона  

с использованием понятий векторного потенциала, магнитного поля и силы Лоренца 

А.Ю.Дроздов 

Векторный потенциал в точке , создаваемый участком тока , расположенном в точке  

(1)

Магнитное поле 

(2)

 Рассчитаем магнитное поле вокруг бесконечного длинного провода как ротор векторного потненциала -  попытка посчитать векторный потенциал вокруг бесконечного провода привела к бесконечному ответу потому она не интересна 

(3)

 Устанавливаем проводник - источник тока в начало координат по игреку и зет, и рассчитываем магнитное поле на расстоянии d от проводника 

(4)

 Участок проводника 2 

(5)

 Применяем формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы Амперы для параллельных проводников 

(6)

 Теперь попробуем решить задачу вычисления отдачи рельсотрона 

 Рассчитаем векторный потенциал создаваемый перемычкой, то есть снарядом, которую мы расположим вдоль оси икс, пусть ток по ней течёт справа налево, длина перевычки равна 1 

(7)

 Рассчитаем векторный потенциал создаваемый источником тока, который мы расположим вдоль оси икс, ток по ней течёт с лева на право, длина равна 1 

(8)

 Векторный потенциал, создаваемый правой рельсой 

(9)

 Векторный потенциал, создаваемый левой рельсой 

(10)

 Суммарный векторный потенциал, создаваемый пушкой 

(11)

 Магнитное поле создаваемое правой рельсой в области перемычки 

	(12)

 Находим также магнитное поле создаваемое источником тока в области перемычки 

(13)

 Применяем формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой магнитное поле источника действует на перемычку 

	(14)

 Применяем формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой магнитное поле правой рельсы действует на перемычку 

	(15)

 Применяем формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой магнитное поле левой рельсы действует на перемычку 

	(16)

 В результате мы видим, что сила, действующая со стороны рельс на перемычку на много больше силы, действующей со стороны источника тока на перемычку 

Магнитное поле, создаваемое перемычкой в области правой рельсы и в области левой рельсы 

	(17)

 Применяя формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой магнитное поле перемычки действует на правую рельсу и на левую рельсу 

	(18)

 Таким образом мы видим, что применение формулы Лоренца для расчёта сил, действующих в конфигурации рельсотрона приводит к тому, что сила Лоренца, с которой магнитное поле рельсы действует на перемычку не равна по модулю и не противоположна по направлению силе, с которой магнитное поле перемычки действует на рельсу, что противоречит третьему закону Ньютона. Данный расчёт показывает, что формула Лоренца является непригодной для электродинамического вычисления отдачи рельсотронной пушки 

 Более того, если мы захотим вычислить численное значение силы Лоренца, действующей со стороны рельс на перемычку, то при интегрировании по всей длине перемычки мы получаем бесконечность. Причём эта бесконечность получается именно в точке перегиба тока.

 Мы можем уточнить этот результат расчётом не в интегральной, а в дифференциальной форме

Векторный потенциал, создаваемой бесконечно малым отрезком тока центральной части перемычки 

(19)

 Магнитное поле создаваемое этим бесконечно малым отрезком тока центральной части перемычки 

(20)

 Магнитное поле создаваемое бесконечно малым отрезком тока в центральной части перемычки в центральной точке  правой и левой рельсы 

	(21)

 Применяя формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой магнитное поле бесконечно малого отрезка тока в центральной части перемычки действует на бесконечно малый участок тока в центральной части правой рельсы и левой рельсы 

	(22)

 Векторный потенциал, создаваемое бесконечно малым отрезком тока в центральной части перемычки в центральной точке  правой и левой рельсы 

	(23)

 Используя формулы из первого параграфа новой электродинамики Менде для разложения силы Лоренца на две составляющие - на градиент потенциальной энергии тока в поле векторного потенциала и на конвективную производную движущегося заряда в поле векторного потенциала. 

Градиент потенциальной энергии заряда, движущегося в поле векторного потенциала, как градиент скалярного произведения векторного потенциала на вектор тока второго проводника 

	(24)

 Записываем выражение для конвективной производной 

(25)

 Вычисляем конвективную производную вектора тока второго проводника в поле векторного потенциала, создаваемого первым проводником 

	(26)

 Векторный потенциал, создаваемый бесконечно малыми участками тока центральной части правой и левой рельсы 

(27)

(28)

Векторный потенциал, создаваемый бесконечно малыми участками тока центральной части правой и левой рельсы в точке центральной части перемычки 

	(29)

 Магнитные поля создаваемые этими участками тока в центральной точке перемычки 

	(30)

Применяя формулу силы Лоренца - находим таким образом выражение для силы, с которой Магнитные поля создаваемый бесконечно малыми участками тока центральной части правой и левой рельсы действует на бесконечно малый участок тока в точке центральной части перемычки 

	(31)

 Найдём градиент потенциальной энергии заряда, движущегося в поле векторного потенциала, как градиент скалярного произведения векторного потенциала на вектор тока второго проводника 

	(32)

	(33)

 Сравним теперь модули  

	(34)

	(35)

 Таким образом мы видим, что применение формулы Лоренца также и в дифференциальной форме для расчёта сил, действующих в конфигурации рельсотрона приводит к тому, что сила Лоренца, с которой магнитное поле рельсы действует на перемычку не равна по модулю и не противоположна по направлению силе, с которой магнитное поле перемычки действует на рельсу, что противоречит третьему закону Ньютона. 

02.04.2018