Размышления на тему теории упругой вселенной Чурляева 

А.Ю.Дроздов 

Теория упругой Вселенной Чурляева - это попытка применить математический формализм теории упругости твёрдого тела к вакууму, электромагному и гравитационному полям и к внутреннему устройству элементарных частиц.

Итак Чурляев берёт для вакуума волновое уравненение в форме http://uni100.ucoz.ru/publ/05_tri_klassa_sfericheskikh_reshenij/1-1-0-8 а в качестве основой строения элементарных частиц Чурляев берёт частное решение волнового уравнения, сферические стоячие волны.

Вообще говоря, в теории упругости твёрдого тела волновое уравнение получается из уравнений Ламе, см. например http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/a/AGKNYAZEVA/predmet/Tab2/posobie.pdf  (глава 1.5) или http://www.mat.net.ua/mat/biblioteka-fizika/Filonenko-Borodich-uprugost.pdf стр 93 применительно к продольным и поперечным колебаниям при рассмотрении плоской волны.  

Тут фокус в том, что для плоской продольной волны градиент дивергенции перемещений среды преобразуется к лапласиану, а для плоской поперечной волны градиент дивергенции равен нулю. Поэтому для этих частных случаев уравнение Ламе сводится к волновому уравнению, пусть и с разными постоянными коэффициентами. 

Но в случае сферической волны, это ещё не факт, что градиент дивергенции перемещений так элегантно упростится. Даже в случае поперечной волны, но распространяющейся по окружности, при определённом направлении колебаний могут происходить объёмные деформации. И ещё один момент: если при каком-либо направлении колебаний для поперечной волны, распространяющейся по окружности, градиент дивергенции перемещений все-же упростится к лапласиану, то не факт, что получившееся волновое уравнение будет иметь тот же самый коэффициент фазовой скорости волны, что и плоская поперечная волна. Следовательно фазовая скорость поперечной сферической стоячей волны может и отличаться от фазовой скорости поперечной плоской волны.

Поэтому, если мы к теории вакуума применяем математический формализм теории упругости твёрдого тела, то строго говоря нужно проверять будут ли сферические стоячие волны удовлетворять уравнениям Ламе? Целью данной работы является исследование этого вопроса.

Далее, автор в http://uni100.ucoz.ru/publ/06_formula_ehnergii_1/1-1-0-44 пишет: "06 ФОРМУЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ЛОКЕ - 1. Выводится в соответствии с законами механики для твердого тела. Удобнее развернуть лок так, чтобы все колебания происходили параллельно вертикальной оси  Z.  Такой выбор обозначается как W0."

Анализируя этот момент я задался вопросом: а имеем ли мы право в механике твёрдого тела получив математическое выражение решения волнового уравнения разворачивать колебания так как нам удобно? 

Чтобы найти ответ на этот вопрос я решил проверить решение волнового уравнения, развёрнутое Чурляевым параллельно оси Z на соответсвие уравнению Ламе.

Надо сказать, что в литературе https://pdfs.semanticscholar.org/a610/40a5032e5a59f0f6aa6a67b7f1b857224448.pdf в главе 2.1 "Shear oscillations of a perfectly elastic solid globe in the regime of standing waves of material displacements" авторы дают дают решение векторного уравнения Гельмгольца, как ротор произведения вектора координат на скалярное решение волнового уравнения. Эти решения, отличающиеся от решений применённых Чурляевым в своих исследованиях:

As was mentioned, in this form the problem of oscillatory response of a perfectly elastic sphere has been posed and solved by Lamb (1882). Specifically, it has been suggested that oscillatory modes in an elastic sphere, termed as spheroidal (s - mode) and torsional or toroidal (t - mode), can be unambiguously classified by two general, regular in origin, solutions to the vector Helmholtz equation given by mutually orthogonal and different in parity solenoidal vector fields – the poloidal and the toroidal fields of fundamental basis (Chandrasekhar, 1961). The fluctuating displacements in spheroidal mode are given by the polar (normal or even parity) poloidal vector field us = ∇ × ∇ × [rjℓ(kr)Pℓ(cos θ)] exp i(ωt) and in torsional mode by the axial (abnormal or odd parity) toroidal field ut = ∇ × [rjℓ(kr)Pℓ(cos θ)] exp i(ωt). Here jℓ(kr) stands for the spherical Bessel function and Pℓ(cos θ) for the Legendre polynomial of degree ℓ. 

Но в данной работе я буду исследовать именно лок Чурляева. Работу я буду выполнять, используя математическую программу Maple 2016.0 В ходе моей работы с этой программой я столкнулся с тем фактом, что программа, увы, не лишена багов. Поэтому было бы неплохо произвести те же самые проверки, которые я сейчас провожу либо на более новой версии этой программы, либо на программе, использующей математическое ядро от другого производителя 

Итак, берём выражение для сферической стоячей волны (Справочник по математике. Г.Корн и Т.Корн, стр. 327, 10.4-48) 

(1)

Подставляем j и m 

(2)

(3)

(4)

Полученные выражения для амплитуды смещения любопытный читатель может сравнить с таковыми у Чурляева по ссылке 

Поскольку я нашёл некоторые отличия между формулами, приведенными Чурляевым и полученными мною выше, то мне придётся проверить мои формулы на предмет удовлетворения волновому уравнению. 

Предположим для начала что мы имеем дело со скалярной величиной распределённой в пространстве в соответствии с и попробуем подставить эту скалярную величину в волновое уравнение в сферической системе координат 

(5)

Подставляем в волновое уравнение скалярное выражение для сферической стоячей волны 

Подставляем j и m 

И решаем полученные уравнения 

(6)

(7)

(8)

Результат подстановки и решения неудовлетворителен. Из такого результата можно было бы сделать вывод что скалярная величина распределённая в пространстве в соответствии с выражение для сферической стоячей волны из справочника Корна не удовлетворяет волновому уравнению. Но не будем торопиться с выводами. Предположим, что мы имеем дело в данном случае с недоработкой или багом программы  Maple 2016.0 

Разложим волновое уравнение на два слагаемых: на слагаемое, связанное с лапласианом и на слагаемое связанное со второй производной по времени 

В каждое из этих слагаемых делаем подстановку j и m 

После чего записываем выражение для ошибки отклонения сферической стоячей волны от волнового уравнения 

Решаем уравнения, приравнивая ошибку нулю 

(9)

(10)

(11)

И, увы, опять получаем тот же неудовлетворительный результат. Но мы не сдаёмся и, при вычислении ошибки, предварительно упрощаем слагаемые связанные с лапласианом и связанные со второй производной по времени. 

Решаем уравнения, и ...  

(12)

(13)

(14)

Вуаля. Это уже другое дело! Решения содержащие или не лишены физического смысла. Желающие могут вышеприведенные выкладки предоставить разработчикам в компанию Maplesoft для устранения недоработки в программе. А мы для понимания внутренних особенностей работы программы попробуем провести ещё один тест. 

(15)

(16)

Оказывается так тоже работает. Хотелось бы отметить, для сферических стоячих волн (1,0) и (1,0) здесь выплывает интересное решение  

в котором волновой вектор (пропорциональный частоте) убывает с ростом расстония. В этой работе при исследовании поведения сферических стоячих волн в среде подчиняющейся уравнению Ламе мы ещё столкнёмся с подобного рода решениями. 

Очень много споров и недоверия вызывает предлагаемый Чурляевым и сотоварищи так называемый "закон наматывания". Сейчас же, пользуясь открытыми мною возможностями программы Maple 2016.0, попытаюсь решить простой математический вопрос: может ли сферическая стоячая волна (в данном случае скалярная величина, распределённая в соответствии с ), нормированная в соответствии с "законом наматывания" Чурляева путём умножения на удовлетврять волновому уравнению. И если может, то при каких условиях? 

(17)

(18)

(19)

Оказывается может, но но при своеобразной зависимости плотности от расстояния к центру:
для лока (0,0) - предположительно электрон. И для локов (1,0) и (1,1) - предположительно нейтрон и протон. 

	(20)

Попробуем нарисовать график плотности в зависимости от расстояния к центру 

Пока что к этому можно относиться разве что как к интересному математическому упражнению. Хотя бы потому что волновое уравнение в теории сплошных сред имеет несколько более сложный характер, чем то с которым мы сейчас упражняемся.
 

Переходим к векторному решению 

Следуя за Чурляевым, назначаем направления колебаний так, "чтобы все колебания были параллельны оси  Z" 

(21)

(22)

(23)

Определим вектор колебаний чурляевского решения волнового уравнения.  

Упростим его 

(24)

Подставляем в волновое уравнение 

(25)

(26)

(27)

В итоге получаются решения содержащие зависимость скорости от плотности и коэффициента сдвига, характерные для поперечной волны. Кроме того для барионов здесь выплывает обратная зависимость частоты от расстояния. 

Казалось бы все хорошо? Нет. Еще раз хочу повториться что в классической теории упругости твердого тела уравнением движения (и то, строго говоря, приближённо) является уранение Ламе. А волновое уравнение в классической теории упругости появляется из уравнения Ламе как частный случай для плоской поперечной и продольных волн.  

А мы сейчас исследуем сферическую стоячую волну. Математически, как мы сейчас проверили, уравнение сферической стоячей волны удовлетворяет волновому уравнению. Но это лишь математика. Если мы хотим понять физику сферической стоячей волны в упругой среде, то в первом приближении мы должны подставить сферическую стоячую волну в уравнение Ламе. 

Скажем так, уравнение плоской продольной волны и плоской поперечной волны будет будет удовлетворять как волновому уравнению так и уравнению Ламе. Рассмотрим это на примере плоской продольной волны 

Уравнение Ламе в векторном виде 

Плоская продольная волна, распространяющаяя вдоль оси Х 

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

В решении уравнения Ламе выплыло соотношение для скорости плоской продольной волны в упругой среде  

Для дальнейших целей познавательно проанализировать градиент дивергенции плоской продольной волны 

(33)

и сравнить его с лапласианом для оной 

(34)

мы получили идентичные выражения. Именно поэтому для плоской продольной волны в упругой среде мы можем упростить уравнение Ламе к волновому уравнению. 

Сравним теперь аналогичным образом градиент дивергенции с лапласианом для сферической стоячей волны, с колебаниями развернутыми как у Чурляева вдоль оси Z 

Для сравнения находим их разность 

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

Разность их не нулевая. И приравнять эту их разность нулю не получается. И таким образом мы видим, что для сферической стоячей волны, с колебаниями развернутыми как у Чурляева вдоль оси Z мы, если хотим дружить с классической теорией упругости, не имеем права упрощать уравнение Ламе к волновому уравнению по той причине что градиент дивергенции не преобразовывается к лапласиану, как это происходит в случае плоской продольной волны. 

А можем ли мы в случае сферической стоячей волны, с колебаниями развернутыми вдоль оси Z получить нулевой градиент дивергенции, как это бывает в случае плоской поперечной волны. Вот пример, вектор смещения для плоской поперечной волны распространяющейся вдоль оси X, в которой колебания развернуты вдоль оси Y.  

(41)

(42)

Градиент дивергенции, как и сама дивергенция для такой волны нулевые. А что для сферической стоячей волны, с колебаниями развернутыми как у Чурляева вдоль оси Z? 

(43)

Приравнивая дивергеницию и ее градиент нулю решаем уравнения 

(44)

(45)

Этот момент можно опять адресовать разработчикам программы. Здесь проявляется явный баг. Логически: если дивергенция равна нулю при и то ее градиент должен быть равен нуля при тех же условиях. Но программа говорит что градиент той же самой дивергенции равен нулю при и . В этом есть противоречие. 

(46)

(47)

(48)

(49)

Возможно здесь тоже проявляется тот же баг. Но для нас важно что для барионов выплывает условие при котором дивергенция смещения может быть равна нулю, хотя это точно не установлено потому что как мы в очередной раз убедились программа не лишена багов. 

Единственно, о чем можно уверенно говорить, что для сферическая стоячая волна, с колебаниями развернутыми вдоль оси Z, если хотим дружить с классической теорией упругости, не имеем права упрощать уравнение Ламе к волновому уравнению по той причине что дивергенция и ее градиент не равны нулю, как это происходит в случае плоской поперечной волны.  

Иными словами в рамках классической теории упругости мы должны работать с уравнением Ламе, а не с волновым уравнением.  

Будет ли сферическая стоячая волна, с колебаниями развернутыми вдоль оси Z удовлетворять уравнению Ламе? Проверим это непосредственной подстановкой. 

Уравнение Ламе в сферической системе координат 

(50)

Подставим вектор колебаний Чурляевского решения волнового уравнения в уравнение Ламе 

Полученное выражение не вывожу в виду его громоздкости 

Теперь делаем подстановки j, m для трёх основных Чурляевских локов (0,0), (1,0) и (1,1) в упрощенное выше выражение уравнения Ламе 

(51)

(52)

(53)

Анализируя полученный результат можно увидеть, что развёрнутое Чурляевым вдоль оси Z решение волнового уравнения для волновых чисел (0,0) может удовлетворить уравнению Ламе при условии 

Для других волновых чисел, к сожалению не удаётся увидеть физически приемлимых решений. Поэтому чтобы проанализировать, что происходит при попытке подставить выражение для Чурляевского лока в уравнение Ламе, попробуем разобрать уравнение по полочкам, то есть по слагаемым. Слагаемое связанное с лапласианом 

(54)

Слагаемое связанное со временем 

(55)

Слагаемое связянное с объёмной деформацией 

(56)

Суммируя все слагаемые получаем выраженние для уравнения Ламе с подстановкой решения в виде Чурляевского лока 

(57)

Произведём подстановку j, m 

Лок (0, 0) 

Слагаемое зависящее от времени для лока (0,0) 

(58)

Слагаемое связянное с объёмной деформацией для лока (0,0) 

(59)

Слагаемое связанное с лапласианом для лока (0,0) 

(60)

Лок (1, 0) 

Слагаемое зависящее от времени для лока (1,0) 

(61)

Слагаемое связянное с объёмной деформацией для лока (1,0) 

(62)

Слагаемое связанное с лапласианом для лока (1,0) 

(63)

Лок (1, 1) 

Слагаемое зависящее от времени для лока (1,1) 

(64)

Слагаемое связянное с объёмной деформацией для лока (1,0) 

(65)

Слагаемое связанное с лапласианом для лока (1,1) 

(66)

Для начала рассмотрим слагаемое связанное с объёмной деформацией 

Лок (0, 0)
радиальная компонента градиента дивергенции вектора смещения 

(67)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль меридиана 

(68)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль параллели 

(69)

Лок (1, 0) 

радиальная компонента градиента дивергенции вектора смещения 

(70)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль меридиана 

(71)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль параллели 

(72)

Лок (1, 1) 

радиальная компонента градиента дивергенции вектора смещения 

(73)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль меридиана 

(74)

компонента градиента дивергенции вектора смещения вдоль параллели 

(75)

Казалось бы, в конфигурации колебаний, выбранной Чурляевым, т.е. когда все колебания происходят вдоль оси Z объёмная деформация должна быть равна нулю, но давайте посмотрим при каких соотношениях коэффициентов градиент дивергенции будет равен нулю. Для этого попытаемся решить два уравнения относительно частоты.  

Лок (0, 0)

Попробуем теперь решить систему уравнений, приравняв нулю оба не равных нулю компонента градиента дивергенции 

(76)

То же далаем для лока (1,0) 

(77)

Для лока (1,1) систему составляем уже из трёх уравнений 

(78)

Первые два решения для лока (0,0) (и аналогичные решения для других локов) физически не обоснованны. А вот оставшиеся два решения интересны.

Попробуем найти значение графически - для лока (0,0)

 

Для локов (1,0) и (1,1) тем же графическим способом ищем значение  

Пеперь найдём численное решение в заданных интервалах 

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

Таким образом для лока (0,0) получается некий дискретный спектр решений, при котором чурляевский лок не имеет объёмных деформаций 

ω =  

(84)

ω =  

(85)

ω =  

(86)

Но не по всему объёму лока, а только лишь при 

θ = и θ =  

То есть по оставшемуся объёму лок имеет объёмные деформации.  

Отсюда можно сделать следующие выводы.

Несмотря на то, что Чурляев в своём локе предположил наличие только лишь поперечных колебаний вдоль оси Z, тем не менее плоскости этих колебаний концентрически расходятся из центра лока, и следовательно эти плоскости не параллельны друг другу. Этим чурляевский лок отличается от плоской поперечной волны, в которой отсутствует объёмная деформация.  

А поскольку в чурляевском локе объёмные дефомации присутствуют, следовательно можно сделать предположение о том, что фазовая скорость волны в чурляевском локе будет отличаться от фазовой скорости плоской поперечной волны, т.е. от скорости света 

Поскольку сферическая стоячая волна имеет как продольную так и поперечную составляющую колебаний, следовательно мы не можем принять для вакуума простое волновое уравнение, как это сделал Чурляев.

 

Проверим теперь остальные компоненты уравнения Ламе 

Радиальная компонента лапласиана для трёх локов 

	(87)

компонента лапласиана вектора смещения вдоль меридиана 

	(88)

компонента лапласиана вектора смещения вдоль параллели 

	(89)

Компоненты, слагаемого, зависящего от времени 

	(90)

	(91)

	(92)

Запишем ошибку отклонения чурляевского лока от уравнения Ламе 

для лока (0,0) 

для лока (1,0) 

для лока (1,1) 

Радиальная компонента ошибки для трёх локов 

	(93)

компонента ошибки вдоль параллели 

	(94)

компонента ошибки вдоль меридиана 

	(95)

Решим систему уравнений, приравнивая ошибку отклонения Чурляевского лока от уравнения Ламе. Таким образом попытаемся ответить на вопрос, при каких условиях чурляевский лок может удовлетворить уравнению Ламе 

(96)

(97)

(98)

Первое решение для лока (0,0) не имеет физического смысла. Второе решение подразумевает отрицательный коэффициент Ламе что весьма сомнительно с физической точки зрения. Третье и четвёртое решение не интересны тем, что они выполняются только при фиксированных значениях долготы. А вот пятое решение весьма и весьма интересно 

Как это можно интерпретировать? 

ω 

Для лока (1,0) с физической точки зрения приемлемых решений найдено, к сожалению, не было.  

Для лока (1,1) интересно рассмотреть решение
 

которое приводит к 

ω 

Здесь выплывает интересная мысль о том, что частота в сферической волне может убывать с ростом расстояния. Мысль вполне здравая и согласуется с тем обстоятельством, что частота звона малого кольца больше частоты звона большого кольца. Аналогично частота волнового резонанса в проводнике тем меньше, чем больше длина проводника. Факт экспериментально проверенный.

С другой стороны, фазовая скорость волны в локе оказывается отличной от скорости плоской поперечной волны. В принципе этот вывод не удивителен исходя из наличия в чурляевском локе объёмных деформаций. Интересно, что для разных локов получено различное значение фазовой скорости. В частности для лока (1,1)  фазовая скорость волны оказалась равной фазовой скорости продольной волны. 

Интересно, что локи (0,0) и (1, 1) удовлетворяют уравнению Ламе лишь при рассмотренных выше зависимостях между плотностью частотой и фазовой скоростью 

То есть иными словами, взятая Чурляевым из справочника Корна сферичееская стоячая волна - это решение чисто математическое. Но, увы, не физическое. Физический смысл в линейной теории упругости твёрдого тела имеют уравнение Ламе, представляющие собой, если говорить простым, запись второго закона Ньютона в специфических для теории сплошных сред терминах: с учётом геометрического представления о напряжениях, деформациях и линейным законом Гука. И если для математического решения волнового уравнения не выполняется второй закон Ньютона, то.... 

Нужно искать решение именно уравнения Ламе в форме сферической стоячей волны, а не волнового уравнения. Решение волнового уравнения, данное Чурляевым, можно рассматривать только лишь как первое приближение, не более. 

А дело все в том, что объёмные деформации чурляевского лока по всему объёму не равны нулю. Именно вклад этих объёмных деформаций и обуславливают отклонение чурляевского решения от второго закона Ньютона.  

Электрический заряд частицы 

В прошлом году я по данной ссылке выложил идею интерепретации электрического заряда частицы если нам известна волновая функция данной частицы выраженная в координатах векторного потенциала. 

Запишем волновое уравнение электродинамики для векторного потенциала позаимствовав его у Менде 

(99)

Выразим напряжённость электрического поля через векторный потенциал 

Подставляя это выражение в волновое уравнение 

откуда 

(100)

По определению электрический заряд представляет собой поток электрического смещения, мы можем выразить его, воспользовавшись теоремой Остроградского Гаусса через интеграл дивергенции электрического поля 

Что является следствием Законга Гаусса. После подстановки находим заряд частицы интегрированием по объёму дивергениции интеграла по времени ротора от ротора векторного потенциала 

Таким образом, если предположить, что взятое за основу волновое уравнение электродинамики верно а также верна гипотеза Чурляева и сотоварищи о том что электромагнитный векторный потенциал A по сути является вектором смещения деформируемого вакуума W, то мы получаем в руки инструмент вычисления электрического заряда частицы.
 

Анализируем 

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

Получаем нулевой заряд. И даже с учётом т.н. "закона наматывания" заряд тоже ноль 

(106)

(107)

(108)

Гравитационное поле частицы 

Гравитационное поле выражается в градиенте скорости электромагнитной волны, а она в свою очередь зависит от диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума, что следует из уравнений Максвелла. Согласно принятым в настоящее время представлениям скорость электромагнитной волны уменьшается при приближении к гравитирующему телу. С другой стороны мне известна альтернативная теория гравитации, развиваемая Янчилиным в которой наоборот скорость электромагнитной волны при приближении к гравитирующему телу, наоборот, увеличивается. По Янчилину, "частота световой волны возрастает в поле тяготения быстрее, чем скорость. Поэтому свет, двигаясь в гравитационном поле, всегда поворачивает туда, где его скорость больше." 

Дивергенция смещения W в теории упругости появляется во-первых при описании волн, имеющий продольную составляющую. А во вторых при описании локальных напряжений, вызванных включениями, деформирующими сплошную среду. И то и другое по сути одна и та же дивергенция W.

Согласно воззрениям автора теории упругой вселенной элементарные частицы, представляюшие собой стоячие колебания гукуума, как бы "раздувают" гукуум. 

Можно попытаться оценить величину этого раздувания проинтегрировав по всему объёму лока дивергенцию смещения W 

(109)

(110)

периодически меняющаяся во времени дивергенция не соответствует модели гравитационного поляы 

(111)

С учётом "закона наматывания" 

(112)

(113)

(114)

Плотность энергии в локе 

Далее, плотность энергии в локе у Чурляева http://uni100.ucoz.ru/_pu/0/12632193.gif выражается формулой
 

однако в курсе теории упругости http://www.mat.net.ua/mat/biblioteka-fizika/Filonenko-Borodich-uprugost.pdf
стр 81, формула 3.33 даётся другая формула для плотности потенциальной энергии деформации 

Есть предположение, что Чурляев взял формулу плотности потенциальной энергии деформации из учебника теории упругости Ландау-Лифшица. Хотя мне представляется более правильной формула приведенная в учебнике Филоненко-Бородича.
 

Так называемый закон наматывания 

На мой взгляд этот закон выглядит очень искуственно. Чтобы уйти от этой искусственности предлагаю следующее. 

Чем ближе к центру частицы, тем ближе друг к другу плоскости, в которых происходит колебание среды в круговой волне.  

Чем ближе к центру частицы, тем больше амплитуда колебаний, тем больше отклонение от линейного тензора деформации. Переход от дензора деформации Коши к тензору деформации Альманси. 

Чем ближе к цетру частицы, тем больше амплитуда колебаний, тем больше отклонение от линейного закона Гука. Это уже область нелинейной теории упругости, например Лурье. 

Также имеет смысл проанализировать решение в котором частота обратно пропорциональна радиусу. 

Вывод 

Моя проверка данного Чурляевым решения волнового уравнения показала его неудовлетворительность. 

Что делать? 

Первое. Подобрать решение удовлетворяющее уравнению Ламе. 

Второе. Проверить возможность назначить направления колебаний по другому. 

Комбинируем решение нормированное с учётом закона наматывания
с частотой обратно пропорциональна радиусу 

Пока только с учётом закона наматывания 

(115)

(116)

Подставим в уравнение Ламе 

Теперь делаем подстановки j, m для трёх основных Чурляевских локов (0,0), (1,0) и (1,1) в упрощенное выше выражение уравнения Ламе 

(117)

(118)

(119)

С учётом закона наматывания и частотой обратной радиусу 

(120)

(121)

Подставим  в уравнение Ламе 

Теперь делаем подстановки j, m для трёх основных Чурляевских локов (0,0), (1,0) и (1,1) в упрощенное выше выражение уравнения Ламе 

(122)

(123)

Интересен результат для лока 0,0 в первом варианте расчёта 

и для лока 1,0 во втором варианте 

Но попытка смоделировать гравитационное поле и электрический заряд оказалась безуспешной 

(124)

(125)

(126)

Периодически меняющийся во времени результат дивергенции не похож на гравитационное поле 

(127)

(128)

Дискуссия 

Например по ссылке Единая теория всех полей можно ознакомиться с гипотезой автора объединяющей электромагнитное поле и гравитационное. Процитирую.

Предисловие.Согласно теории Alexandr I Dubinyansky & Pavel Churlyaev, для вектора смещения W(x,y,z) космического Гукуума применима теорема Гельмгольца. Это означает, что вектор W(x,y,z) можно разложить на два вектора:

W = A + G

Где A(x,y,z) – векторный электромагнитный потенциал, а G(x,y,z) есть величина напрямую связанная с напряжением гравитационного поля. При этом векторный потенциал A(x,y,z) отражает ту компоненту вектора смещения W(x,y,z), для которой divA=0. А гравитационное поле удовлетворяет условию rotG=0.

  Задача. Известен эффект Ааронова-Бома. Нечто, пока не известное, действует на электрон в тех областях, где электромагнитного поля нет. Как такое возможно?! До сих пор считалось, что векторный потенциал A(x,y,z) является некоторой абстрактной величиной и не имеет никакого реального физического смысла. В свете эффекта Ааронова-Бома появляется предположение, что векторный потенциал A(x,y,z) имеет физический смысл, но какой?
  Решение. А физический смысл векторного потенциала A(x,y,z) очень простой. Это часть вектора смещения космического Гукуума. Причём той части вектора смещения W(x,y,z), для которой divA=0. Как известно, векторный потенциал A(x,y,z)электромагнитного поля имеет 3 измерения. Не 1, не 2, а 3! Это означает, что векторную функцию A(x,y,z) можно разложить на 3 взаимно-перпендикулярных направления. Как известно, величины напряжённости электрического поля E и магнитного поля H в электромагнитной волне всегда перпендикулярны друг другу. Два вектора E и H лежат в одной плоскости. Это означает, что трёхмерную функцию A(x,y,z) невозможно полноценно разложить по двум векторам E и H. Всегда будет оставаться не использованная ещё одна проекция вектора A(x,y,z), на направление, перпендикулярное векторам E и H. Векторы E и H не исчерпывают весь вектор A(x,y,z). Существует ещё один вектор, ещё одна характеристика, ещё одно поле, назовём его Dubinyansky field, и обозначим буквой D(x,y,z). Которая себя и проявляет в эффекта Аарона-Бома. Естественно, это компонента D(x,y,z) вектора A(x,y,z) и влияет на поведение частиц.

  По видимому, компонента D(x,y,z) присутствует во всех электромагнитных процессах и феноменах. Просто она трудно обнаружима с помощью электромагнитной аппаратуры. Потому что вся электромагнитная аппаратура настроена только на обнаружение электромагнитного поля.

  Весьма вероятно, что именно компонента D(x,y,z) присутствует в таких феноменах, как шаровая и чёточная (пунктирная) молния. 

Позволю себе заметить, что вводя так называемое "Dubinyansky field" автор видимо не был знаком с работами Геннадия Николаева по электродинамике, в которых были изложены электромагнитные явления связанные с так называемым скалярным магнитным полем, которые по сути отражают факт наличия ненулевой дивергенции векторного потенциала, которая создаётся движущимся зарядом по направлению его движения. И которая влияет на движущиеся заряды. И по поводу шаровой молнии Николаев приводил описания и доказательства, что шаровые молнии являются мощными источниками скалярного магнитного поля, которое и обусловливает многие эффекты производимые ими. 

Если посмотреть чисто математическое формальное определение скалярного магнитного поля по Николаеву, то это дивергенция векторного потенциала.

S = -div A

однако что такое дивергенция? Это сумма трёх компонент. Сумма производной векторной величины А по каждой из трёх пространственных координат. В этой связи я допускаю в скалярном поле возможность выделения трёх компонент. Это конечно не вектор, - это как диагональные члены в тензоре деформации.

С.А.Дейна о скалярном поле пишет буквально следующее, цитирую "скалярное магнитное поле (СМП) возникает при движении электрического заряда в физическом вакууме, причём оно скалярное и возникает вдоль направления движения заряда." В другом месте более подрбно он эту мысль выражает так: "Что касается дивергенции, то смотрите некоторые мои работы, посвящённые теме скалярного магнитного поля. Нулевая дивергенция бывает, но только по центру движущегося заряда. ... в среде физического вакуума при движении в нём электрического заряда. В результате такого движения впереди и позади заряда возникает своего рода давление - скалярное возмущение среды. Это возмущение имеет бывает двух родов - сжатие и разряжение. Его мы и называем скалярным магнитным полем." 

В гипотезе Чурляева и сотоварищи интересно следующее. Фактически авторы отождествляют электромагнитный векторный потенциал A с вектором смещения деформируемого вакуума W, который в свою очередь ответственен за создание гравитационного поля.
 

О возможной общности природы скалярного магнитного поля и гравитационного поля 

Из этой гипотезы вытекает очень интересное в практическом отношении следствие. Если гипотеза об идентичности векторного потенциала и  вектора смещения деформируемого вакуума верна, то мы можем сделать предположение об общности природы скалярного магнитного поля и гравитационного поля.  

Действительно, гравитационное поле гравитирующей частицы обусловлено отличной от нуля дивергенцией вектора смещения деформируемого вакуума. Скалярное магнитное поле обусловлено отличной от нуля дивергенцией векторного потенциала. 

Если векторный потенциал А = вектор смещения деформируемого вакуума W, то скалярное магнитное поле, с одним отличием о котором я скажу ниже, равно гравитационному полю гравитирующих тел. 

Если же векторный потенциал А = некая функция от вектора смещения деформируемого вакуума W, то скалярное магнитное представляет собой  некую функцию от гравитационного поля гравитирующих тел. 

С практической точки зрения, если мы возьмём источник сильного скалярного магнитного поля в виде объекта тороидальной намагниченности, такой как, например, шаровая молния, то по разные стороны намагниченного тороида у нас будет скалярное магнитное поле разных знаков. И если природа скалярного магнитного и гравитационного полей окажется идентичной, то по одну сторону тороида, свойства скалярного поля будут соответствовать свойствам гравитационного поля, а, по другую -  свойствам антигравитационного поля.  

Возможно именно благодаря антигравитационным свойствам скалярного магнитного поля в области снизу от шаровой молнии мы наблюдаем явления горизонтального движения шаровой молнии по некоторым свиделельствам повторяющие рельеф. 

Отличие между гравитационным полем гравитирующего тела и скалярным полем шаровой молнии заключается в том, какой вид имеют диагональные члены тензора деформации.  

В случае гравитационного поля гравитирующего тела все три диагональных члена тензора деформации имеют один и тот же знак.   

В случае скалярного поля шаровой молнии, знак вертикально направленного диагонального члена тензора деформации противоположен знаку двух остальных горизонтально направленных диагональных членов тензора. 

Сопоставление формул теории упругости и электродинамики 

Мы можем сопоставить теорию упругости с электродинамикой. В частности волновое уравнение электромагнитной волны, выведенное из уравнений Максвелла  

после преобразования к виду  

становится по форме записи аналогично уравнению Ламе 

если положить соотношение между упругими константами для вакуума  

то уравнение Ламе преобразовывается к виду  

совершенно аналогичному волновому уравнению электромагнитной волны, выведенному из уравнений Максвелла. Из этого уравнения видно, что скорость поперечной электромагнитной волны зависит от соотношения плотности среды и коэффициента сдвига  

Здесь хотелось бы указать на одно интересное математическое совпадение. В ходе анализа моей гипотезы Градиент скорости света как причина возникновения гравитационного ускорения я получил вычисленное значение гравитационного ускорения частицы 1.515 g. Если положить соотношение между упругими константами для вакуума  

и принять во внимание полученное в данной работе соотношение для скорости волны внутри лока (0,0)  

тогда подставляя первое выражение во второе получаем
 

Учитывая выражение для скорости поперечной электромагнитной волны  

находим что скорость круговой волны внутри лока равна  

Учитывая способ определения ускорения свободного падения круговой волны, как интеграл по длине мы должны будем в формуле окружности от получаем таким обазом поправочный множитель . Таким образом оценка гравитационного ускорения лока (0,0) составит 1.515 g * 2/3 = 1.01 g 

К сожалению для лока (1,1) аналогичные рассуждения заводят нас в тупик. Так что проблема объяснения величины гравиационного ускорения частицы в рамках обсуждаемой теории и вышеупомянутой гипотезы, увы, не решена 

Недостаток соотношения в том, что полученное уравнение может описать распространение только лишь поперечной электромагнитной волны, оставляя продольные электромагнитные волны за бортом. Между тем в работах Докучаева, Геннадия Николаева и других генерация и приём продольной электромагнитной волны осуществлялся экспериментально. В случае вышеприведенных уравнений можно показать распространение продольных электромагнитных волн, только если соотношение не будет выполняться. 

Некоторые авторы (Степановский и др.) модифицируют уравнения Максвелла таким образом, чтобы показать распространение продольных элекромагнитных волн. За основу берётся уравнение Прока, которое является обобщением уравнений Максвелла, призванным описывать массивные частицы со спином 1.  

В этой форме уравнение Прока напоминает уравнение Ламе с учётом сторонних сил 

Но если попытаться провести аналогию между уравнениями Ламе и Прока, то нужно либо предположить коэффициент Ламе   равным нулю, что сомнительно, либо предположить, что коэффициент продольного сжатия как-то связан с градиентом производной по времени скалярного потенциала. Таким образом вопрос сопоставления уравнений электродинамики и уравнений теории упругости остаётся открытым. 

Приблизительный характер уравнения Ламе 

При этом относительно уравнения Ламе надо иметь в виду следующее. Несмотря на то, что уравнение Ламе выводится в теории сплошных сред исходя из второго закона Ньютона, который инвариантен относительно преобразований Галилея, уравнение Ламе относительно преобразований Галилея неинвариантно. Кроме того уравнение Ламе неинвариантно по отношению к перобразованию Лоренца. Причина такого положения в неточности, допущенной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды и производная по времени в данном месте пространства  отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответствующее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнения Ламе в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. Кроме того неточность уравнения Ламе возникает при отбразывании бесконечно малых второго порядка в тензоре Альманси. 

В связи с этим мною был предпринят вывод уравнения движения в координатах Эйлера с использованием тензора Альманси и при предположении о сохранении линейного характера в законе Гука. Полученное уравнение носит весьма громоздкий характер, что хотя и затрудняет его практическое использование, но тем не менее такой подход, думаю должен использоваться для уточнения теории. 

С другой стороны формальное сходства уравнения Ламе с волновым уравнением электромагнитной волны, выведенным из уравнений Максвелла наталкивает на мысль, что волновое уравнение электромагнитной волны приблизительно в том плане, как будто в этом уравнении на хватает бесконечно малых высших порядков, наподобие тех что отброшены при выводе уравнения Ламе. И поэтому настоящее волновое уравнение электромагнитной волны нелинейно. За счёт пространственной нелинейности тензора деформации. Наподобие нелинейности тензора Альманси.  

Нелинейная электродинамика вакуума в настоящее время активно развивается. Можно указать такие работы как
Основы нелинейной спинорной электродинамики
 

Постмаксвелловские эффекты нелинейной электродинамики вакуума и гравитации   

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЛАБОРАТОРНЫХ И АСТРОФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ 

Электродинамика фотона и его структура как сгустка одного из многих возможных состояний электромагнитного поля 

Нелинейная электродинамика: сингулярные солитоны и их взаимодействия 

Нелинейная электродинамика в качестве единой теории поля 

Причина неудачи моделирования гравитационного поля в данной работе 

Анализ литературы по линейной электродинамике позволяет предположить, что причина получения в данной работе нулевой дивергенции вектора смещения деформируемого вакуума заключена в неучёте нелинейности волнового уравнения вакуума. 

Целесообразность использования уравнений нелинейной моментной теории упругости в качестве волнового уравнения физического вакуума  

Есть ещё одно направление развития теории упругого вакуума, о котором нужно сказать. Как известно классическая теория упругости основывается на модели упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими сторонами малого поверхностного элемента dS описывается исключительно главным вектором сил pdS, что приводит к симметричным тензорам напряжений и дефомаций.  

Между тем одновременно с классической развивается теория упругости сплошных сред, учитывающая моментное
(вращательное) взаимодействие частиц, – моментная теория упругости братьев Коссеров. С несимметричными тензорами. В рамках этой модели учитывается изменение не только центров тяжести микрочастиц, но и их ориентации. Так как частицы представляют собой не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами, действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Даже система одних сил в общем случае не может быть сведена к одной лишь равнодействующей, необходимо введение еще и результирующего момента. Для каждого элементарного объёма среды учитывается также и момент инерции. 

Мне удалось найти Вывод уравнений динамики нелинейной среды Коссера но при его использовании надо иметь в виду, что авторы данной работе в уравнении (7) используют тензор деформации Грина. Это справедливо если все предыдущие уравнения динамики среды основаны на описании Лагранжа. Но в книге по теории упругости Новацкого в главе 2.9 (стр.63-66) "Уравнения движения" Новацкий выводит уравнения движения используя именно описание Эйлера (см. уравнение 7 на стр. 64) а дальше (см. уравнение 16 на стр 66) он использует тензор деформации Альманси. В связи с этим есть мнение, что при выводе уравнений динамики нелинейной среды Коссера в уравнении (7) нужно использовать тензор Альманси.

Считаю использование уравнений нелинейной среды Коссера для физического вакуума перспективным, потому что есть надежда объяснить таким образом не только орбитальное движение, но и спин. 

Если на самом деле окажется что тензор деформации физического вакуума несимметричен, как у братьев Коссеров, тогда, кроме скалярного магнитного поля мы сможем выделить не один а два вектора векторного магнитного поля. Скажем так орбитальное (или потоковое) и спиновое. Например магнитное поле вокруг прямого проводника с током возникает благодаря убыванию векторного потенциала с расстоянием от проводника. Ротор векторного потенциала здесь появляется именно благодаря этому. Я бы назвал такое векторное магнитное поле потоковым.  

А если представить ситуацию, что мы имеем ускоритель, из которого вылетает поток заряженных частиц, спин которых ориентирован одинаковым образом у всех частиц перпендикулярно направдению потока, то в окружающем такой поток пространстве мы получим два физически разных вектора магнитного поля. Один связан с поступательным движением частиц, другой - со спином этих частиц. И направление этих векторов будут несовпадать. 

Аналогичная ситуация, если мы пустим ток по полоске железа, которая до этого была намагниченную перпендикулярно направлению тока. Магнитное поле намагниченности - спиновое, а магнитное поле тока - потоковое. 

Всё это можно математически представить если иметь несимметричный тензор векторного потенциала. 

Вопрос на закуску 

Почему в теории упругой вселенной смещение W автор связывает именно с векторным потенциалом А?  

Может быть имеет смысл связать смещение W c вектором электрического смещения D?
Идея, так сказать, на поразмыслить ... И то смещение, и то.

А связана эта идея вот с чем. Недавно был открыт эффект Казимира, состоящий в том, что вакуум в свободном состоянии рождает электронно позитронные пары, которые потом опять аннигилируют. Кроме того пишут про так называемую темную энергию. Так вот моя идея в том что тёмная энергия почему темная потому что это не свет. Это не поперечная электромагнитная волна. А по всей видимости продольная. А что такое продольная электромагнитная волна? Это волна электрического смещения D. Так вот интерференция продольных волн электрического смещения должна приводить к локальным минимумам и максимумам электрического заряда (электронно-позитронные пары).

Хотя,  конечно, недостаток этой моей модели в том что мы не учитываем появление спина электрон позитронных пар. Так что видимо темная энергия это волна не просто продольная а возможно какая-то крутильная. Это ещё один доводв пользу того, что для физического вакуума аналогии нужно искать не в классической теории упругости, а в теории упругости братьев Коссеров. В которой тензоры деформации и напряжений несимметричны. И в которой учитывается, в отличие от классической теории упругости момент инерции элементарного объёма сплошной среды.

По большому счёту мы не до конца понимаем, что такое электрический заряд. И соответственно, что такое электрическое смешение.
 

26.03.2018